Calculateur du critère de Kelly

Cet outil détermine la mise mathématiquement optimale pour un pari, exprimée en pourcentage de votre capital, une fois que vous connaissez votre avantage et les cotes américaines sur une moneyline, un spread ou un total.

Qu’est-ce que le critère de Kelly ?

Le critère de Kelly répond à la question que la valeur attendue laisse en suspens : une fois que vous savez qu’un pari est +EV, combien devez-vous réellement miser ? Il renvoie la fraction de votre capital qui maximise la croissance à long terme — suffisamment importante pour exploiter un réel avantage, mais assez petite pour ne jamais risquer la ruine. Miser plus que ce que Kelly préconise ralentit la croissance de votre capital et augmente la volatilité ; miser moins vous fait passer à côté d’une partie de la croissance.

Comme le Kelly complet est agressif et ne pardonne pas les erreurs d’estimation, la plupart des parieurs utilisent une fraction de celui-ci — le demi-Kelly ou le quart-Kelly — pour lisser les résultats. La formule ne se soucie pas de la manière dont vous avez calculé votre probabilité de gain ; elle exige simplement que le chiffre que vous lui fournissez soit honnête. Si vous lui donnez une probabilité gonflée, elle calculera une mise trop importante par rapport à l’avantage réel dont vous disposez.

Ce calculateur ne vous dit pas si un pari vaut la peine d’être fait — c’est le rôle d’un calcul d’avantage ou de valeur attendue. Il vous indique quelle part de votre capital engager une fois que vous pensez avoir un avantage, en renvoyant la mise en Kelly complet ainsi que les alternatives demi-Kelly et quart-Kelly.

Comment le critère de Kelly est calculé

La formule est : Fraction de Kelly = (b x p - q) / b, où b est la cote décimale moins 1 — votre profit par $1 misé — p est votre probabilité de gain, et q est 1 moins p, votre probabilité de perte. Multipliez la fraction obtenue par votre capital pour obtenir la mise en Kelly complet en dollars.

Pour trouver b, partez des cotes américaines et convertissez-les en décimales. Une cote américaine de +120 se convertit en une cote décimale de 2.20, donc b est 1.20 — pour chaque $1 misé, un gain rapporte $1.20 de profit en plus de la récupération de la mise. Insérez ce b dans la formule avec votre probabilité de gain p, et elle pondère votre avantage par rapport à votre gain décimal : un b plus élevé signifie que la formule tolère une probabilité de gain plus faible avant que le pari ne cesse d’être intéressant, et un p plus élevé augmente la fraction recommandée.

Une fois que vous avez la fraction, la mise en dollars est simplement cette fraction de votre capital. Une fraction de Kelly de 12.0% sur un capital de $1,000 signifie une mise en Kelly complet de $120.00. Le demi-Kelly et le quart-Kelly prennent simplement la moitié ou le quart de cette fraction — et donc la moitié ou le quart de cette mise en dollars. La formule elle-même ne s’ajuste jamais en fonction de votre confiance dans votre estimation de probabilité ; cet ajustement est précisément la raison pour laquelle on choisit une fraction de Kelly inférieure à 1.00.

Ce que le calculateur vous montre

Une fois que vous avez entré vos cotes américaines, votre probabilité de gain estimée et votre capital, le calculateur renvoie une série de chiffres conçus pour vous aider à décider du montant à risquer. Le premier est le pourcentage de Kelly — la fraction de votre capital que la formule recommande de miser. À côté se trouve la mise en Kelly complet en dollars, qui correspond à ce pourcentage appliqué au capital que vous avez saisi.

En dessous, il affiche les mises en demi-Kelly et quart-Kelly côte à côte avec le chiffre du Kelly complet, afin que vous puissiez voir comment le risque recommandé diminue à mesure que vous passez à une fraction plus conservatrice. Il n’y a pas de verdict distinct “dois-je parier” ici — si la fraction sous-jacente est nulle ou négative, la mise affichée est zéro, car le pari n’est pas assez rentable à ce prix et à cette probabilité pour justifier de risquer une partie de votre capital.

Exemple concret

Prenons un pari à +120 que vous estimez avoir 52% de chances de gagner, avec un capital de $1,000. La sélection est une moneyline d’outsider. Convertir +120 en cote décimale donne 2.20, donc b est 1.20 — votre profit par $1 misé si le pari est gagnant.

Insérez ces chiffres dans la formule de Kelly et la fraction obtenue est de 12.0%. Sur un capital de $1,000, cette fraction correspond à une mise en Kelly complet de $120.00. C’est le montant que la formule juge optimal pour maximiser le taux de croissance à long terme de votre capital, étant donné que vous avez réellement 52% de chances de gagner à +120.

La plupart des parieurs ne miseront cependant pas les $120.00 complets, car le Kelly complet suppose que votre estimation de 52% est exactement correcte, ce qui est rarement le cas dans le monde réel. Réduire à un demi-Kelly ramène la mise à $60.00 — la moitié de la fraction, la moitié du risque en dollars — tout en capturant la majeure partie de la croissance à long terme que la mise complète offrirait. Le quart-Kelly réduit encore davantage, à une mise de $30.00, pour les parieurs qui veulent exploiter leur avantage sans subir les fluctuations liées à une mise plus agressive.

L’écart entre ces trois chiffres est tout l’intérêt de l’exercice. Le Kelly complet, le demi-Kelly et le quart-Kelly découlent tous du même chiffre de 12.0% produit par la formule à partir du même prix de +120 et de la même probabilité de 52% ; la seule chose qui change est la part de cette fraction recommandée que vous êtes prêt à engager. Un parieur confiant dans son chiffre de 52% pourrait pencher vers les $120.00 complets. Un parieur qui soupçonne que son estimation pourrait être erronée penchera vers l’alternative à $60.00 ou $30.00, acceptant une croissance plus lente pour une courbe de capital plus stable.

Mise en Kelly complet à +120 sur un capital de $1,000 selon votre probabilité de gain

Le pourcentage de Kelly, et donc la mise en dollars, est déterminé par votre probabilité de gain une fois le prix fixé. En maintenant le prix à +120 et le capital à $1,000, de petites variations dans votre probabilité de gain estimée modifient considérablement la mise recommandée, c’est pourquoi une probabilité honnête compte plus que la formule elle-même.

Kelly complet, demi et quart sur la mise complète de $120

Une fois que le calculateur produit une mise en Kelly complet, la décision restante est de savoir quelle fraction de celle-ci risquer. Le tableau ci-dessous prend la mise en Kelly complet de $120.00 de l’exemple concret et montre ce que chaque fraction standard réduit en termes de dollars.

L’angle mort de Kelly : les mauvaises estimations de probabilité

Kelly n’est aussi fiable que la probabilité que vous lui fournissez, et il punit sévèrement l’excès de confiance : surestimez votre avantage et le Kelly complet vous fera miser trop, ce qui ralentira la croissance à long terme et peut creuser un trou profond rapidement. La formule n’a aucun moyen de savoir si la probabilité que vous entrez reflète un avantage réel ou un vœu pieux — elle traite tout ce que vous tapez comme une vérité absolue et dimensionne la mise en conséquence.

Cette sensibilité est précisément la raison pour laquelle le Kelly fractionnaire est la norme plutôt que l’exception. Le demi-Kelly capture environ les trois quarts de la croissance que le Kelly complet produirait, avec beaucoup moins de la moitié de la volatilité — un compromis que la plupart des parieurs jugent utile après avoir observé ce qu’une série de mauvaises variances fait à un capital en Kelly complet. Le quart-Kelly réduit encore davantage la volatilité, au prix d’une certaine croissance, pour les parieurs qui préfèrent une progression régulière plutôt que de courir après le maximum théorique.

Deux autres règles comptent tout autant que la fraction que vous choisissez. Premièrement, si la formule renvoie zéro ou un nombre négatif, le pari n’est pas +EV à ce prix et à cette probabilité, et la réponse de Kelly est de ne rien miser du tout. Deuxièmement, Kelly suppose que vous pouvez re-parier un capital croissant ou décroissant à de nombreuses reprises ; il est conçu pour des paris répétés, pas pour un pari unique que vous ne répéterez jamais. Pour un pari ponctuel ou un capital fixe que vous ne pouvez pas faire fructifier, la mise agressive en Kelly complet a moins de sens qu’elle n’en aurait pour un parieur plaçant ce même type de pari semaine après semaine. Considérez le chiffre renvoyé par le calculateur comme un plafond sur ce que vous pourriez miser, jamais comme une cible que vous êtes obligé d’atteindre.

Quand le critère de Kelly a-t-il du sens ?

Le critère de Kelly est conçu pour les parieurs qui ont déjà un processus pour estimer les probabilités de gain et qui parient de manière répétée au fil du temps, laissant un capital fructifier sur de nombreux paris. Si vous pouvez produire une estimation de probabilité honnête et disciplinée pour un pari — pas juste une intuition — et que vous prévoyez de continuer à parier avec le même capital à l’avenir, Kelly vous donne un moyen fondé de décider quelle part de ce capital un avantage donné mérite.

Cela a moins de sens lorsque l’une ou l’autre de ces conditions n’est pas remplie. Si vos estimations de probabilité sont fragiles ou si vous débutez dans le handicap d’un sport ou d’un type de pari particulier, fournir un chiffre incertain à la formule de Kelly complet peut produire une mise beaucoup trop importante pour la confiance que vous avez réellement — ce qui explique pourquoi le demi-Kelly ou le quart-Kelly existe comme une valeur par défaut plus sûre. Si vous placez un pari unique et ponctuel plutôt qu’une longue série de paris similaires, l’argument de la croissance à long terme derrière Kelly ne s’applique pas vraiment, car l’avantage de Kelly est statistique et se manifeste sur de nombreux paris répétés, et non une garantie sur un pari individuel.

La taille du capital et la tolérance au risque comptent aussi. Un parieur avec un capital important et stable et un avantage réel et bien testé est dans la meilleure position pour utiliser le Kelly complet ou quelque chose de proche. Un parieur travaillant avec un capital plus petit ou moins certain, ou celui qui ne peut tout simplement pas supporter les fluctuations qui accompagnent une mise agressive, est généralement mieux servi en s’en tenant au demi-Kelly ou au quart-Kelly, quelle que soit la force de l’avantage sur le papier.

Erreurs courantes

Entrer une probabilité de gain gonflée fait miser trop à Kelly, car la formule ne peut pas détecter une estimation trop optimiste. Utiliser le Kelly complet lorsque votre avantage est réellement incertain ajoute un risque inutile au lieu de choisir une fraction plus sûre conçue pour cette incertitude. Miser quoi que ce soit lorsque la formule renvoie une fraction nulle ou négative ignore le signal de Kelly indiquant que le pari ne vaut pas la peine d’être fait. Oublier de recalculer la mise à mesure que le capital augmente ou diminue signifie que les paris ultérieurs sont dimensionnés par rapport à un chiffre qui n’est plus exact.

Kelly complet vs Kelly fractionnaire

Le Kelly complet maximise la croissance théorique mais entraîne une très forte volatilité, une combinaison difficile lorsque vos estimations de probabilité sont loin d’être parfaites. Le demi-Kelly et le quart-Kelly sacrifient une partie de cette croissance pour une courbe de capital beaucoup plus lisse.