켈리 공식 (Kelly Criterion)

켈리 공식(Kelly Criterion)은 한 가지 구체적인 질문에 답을 줍니다. 당신이 우위가 있다고 판단하는 베팅에서, 실제 자금의 몇 퍼센트를 걸어야 하는가? 이 공식은 승리할 베팅을 찾아주는 방법이 아닙니다. 켈리 공식을 사용하기 전, 당신은 이미 독립적인 분석을 통해 실제 승률을 추정하고 있어야 합니다. 이 공식의 역할은 그 승률과 제공된 배당률을 결합하여, 나쁜 결과가 이어져도 파산하지 않으면서 장기적으로 자금을 가장 빠르게 복리로 불릴 수 있는 베팅 금액을 산출하는 것입니다.

작동 원리: 배당률을 $1를 걸었을 때 얻는 순이익인 “순배당(net odds)” b로 변환합니다. -110 배당의 경우 $110를 걸면 $100의 수익이 발생하므로 b = 100/110 = 0.909입니다. +150 배당의 경우 b = 1.5입니다. p를 실제 승률, q = 1 - p를 패배 확률이라고 할 때, 켈리 비율 f* = (bp - q) / b이며, 이는 f* = p - q/b로도 쓸 수 있습니다. 이 수치들을 대입하면 해당 베팅에 걸어야 할 자금의 비율이 나옵니다.

이 공식은 처음 사용하는 사람들에게는 놀라울 정도로 민감하게 반응합니다. 아주 작은 우위만 있어도 매우 적은 베팅 금액(종종 자금의 2-3% 미만)을 권장하는 반면, 큰 우위가 있다고 판단되면 20% 이상의 수치가 나오기도 합니다. 이는 수학적으로는 정확하지만 실제로는 무모할 수 있습니다. 왜냐하면 당신의 승률 추정치는 확신이 아닌 추측이기 때문이며, 켈리 공식은 당신이 p를 정확히 알고 있다고 가정하기 때문입니다. p를 몇 퍼센트 포인트만 잘못 추정해도 “풀 켈리(full Kelly)“는 장기적인 우위가 확실한 상황에서도 극심한 손실을 초래할 수 있는 베팅 규모를 제시할 수 있습니다. 이것이 실전에서 거의 아무도 풀 켈리로 베팅하지 않고, 그 일부만 베팅하는 이유입니다.

예시

당신이 NFL 경기를 분석하여 승리 확률이 55%라고 확신하는데, 북메이커는 양쪽 모두 -110 배당을 제시했다고 가정해 봅시다. 당신의 자금은 $5,000입니다.

먼저 b를 구합니다: -110 배당에서 b = 100/110 = 0.909입니다.

그다음 f* = p - q/b를 적용합니다:

• p = 0.55, q = 0.45
• q/b = 0.45 / 0.909 = 0.495
• f* = 0.55 - 0.495 = 0.055, 즉 5.5%

풀 켈리에 따르면 이 경기에 $5,000의 5.5%인 $275를 베팅해야 합니다.

이제 계산이 타당한지 확인해 봅시다: -110 배당에서 손익분기 승률은 52.4%입니다. 당신은 이 경기의 승률을 55%로 보므로, 시장 대비 우위는 2.6% 포인트입니다. 이는 실질적이지만 크지 않은 우위이며, 5.5%의 베팅 규모는 이를 적절히 반영합니다. 무모한 베팅도 아니고, 의미 없는 소액 베팅도 아닙니다.

대부분의 절제된 베터들은 여기서 하프 켈리(half-Kelly)를 사용하여 자금의 2.75%인 약 $137.50를 베팅할 것입니다. 하프 켈리는 장기적인 성장률을 일부 포기하는 대신 변동성을 약 75% 줄여줍니다. 이는 당신의 55% 추정치가 모델의 정확도에 따라 실제로는 53%나 57%가 될 수 있다는 점을 고려할 때 매우 중요합니다. 만약 승률 추정치가 몇 퍼센트 포인트 낙관적이었다 하더라도, 하프 켈리 베팅은 계속 베팅을 이어갈 수 있는 자금을 남겨주지만, 풀 켈리 베팅은 오류로 인한 손실을 훨씬 빠르게 증폭시킵니다.

핵심 포인트

• 우위가 전부입니다: 켈리 공식은 당신의 승률 추정치가 정확할 때만 작동합니다. 단순히 팀이 좋다는 이유로 55%라고 추측한다면, 켈리 공식은 당신이 지어낸 숫자를 바탕으로 베팅 규모를 자신 있게 산출할 뿐입니다. 이 공식은 당신의 분석을 검증하는 것이 아니라, 단지 그 규모를 조정할 뿐입니다.
• 풀 켈리가 아닌 부분 켈리를 사용하세요: 하프 켈리(또는 우위가 불확실할 경우 쿼터 켈리)는 이론적인 성장률을 일부 희생하지만 변동성을 극적으로 줄여주며, 거의 모든 사람이 범하는 오류인 ‘우위 과대평가’로부터 자금을 보호합니다.
• 작은 우위에는 작은 베팅이 정답입니다: 당신의 모델이 52.4% 손익분기 라인 대비 51.5%의 가치밖에 없다고 판단한다면, 켈리 공식은 (정확하게도) 우위가 전혀 없다고 알려줄 것입니다. 분석을 했다는 이유만으로 억지로 베팅하지 마십시오.
• 한 번이 아닌 베팅마다 재계산하세요: 베팅 결과에 따라 자금은 매번 변하며, 그에 따라 달러 단위의 적정 베팅 금액도 변합니다. 켈리는 현재 자금의 비율이므로, 연패 중이라면 베팅 규모를 줄이고 연승 중이라면 늘려야 합니다. 고정적으로 $100씩 베팅하는 방식은 이를 완전히 무시하는 것입니다.
• 반복되는 베팅을 위해 만들어졌습니다: 켈리 공식은 독립적인 우위를 가진 여러 베팅에 걸쳐 장기적인 기하급수적 성장을 극대화합니다. 다시는 없을 단발성 동일 경기 조합 베팅(same-game parlay)은 켈리 공식의 적용 대상이 아닙니다. 공식이 최적화할 “장기적 관점"이 존재하지 않기 때문입니다.
• 상관관계가 있는 베팅은 가정을 무너뜨립니다: 켈리 공식은 각 베팅이 전체 자금에 대해 독립적으로 평가된다고 가정합니다. 만약 같은 경기의 여러 항목에 켈리 공식에 따른 베팅을 다섯 번 한다면, 당신은 다섯 개의 독립적인 우위를 가진 것이 아니라, 다섯 개의 다른 가격표가 붙은 하나의 큰 상관관계 포지션을 가진 셈입니다.