Kalkulator kryterium Kelly'ego

To narzędzie znajduje matematycznie optymalną stawkę zakładu, wyrażoną jako procent Twojego kapitału, gdy znasz już swoją przewagę oraz kursy amerykańskie na moneyline, spread lub sumę punktów.

Czym jest kryterium Kelly’ego?

Kryterium Kelly’ego odpowiada na pytanie, które pozostaje otwarte przy wartości oczekiwanej: skoro wiesz, że zakład ma dodatnie EV, ile powinieneś faktycznie postawić? Zwraca ono ułamek kapitału, który maksymalizuje długoterminowy wzrost — wystarczająco duży, by wykorzystać realną przewagę, ale wystarczająco mały, by nigdy nie zaryzykować bankructwa. Jeśli postawisz więcej, niż sugeruje Kelly, Twój kapitał będzie rósł wolniej i podlegał większym wahaniom; jeśli postawisz mniej, tracisz potencjał wzrostu.

Ponieważ pełny Kelly jest agresywny i nie wybacza błędów w szacunkach, większość graczy używa jego ułamka — pół-Kelly lub ćwierć-Kelly — aby wygładzić przebieg gry. Wzór nie przejmuje się tym, w jaki sposób obliczyłeś prawdopodobieństwo wygranej; ważne jest tylko, aby liczba, którą wprowadzasz, była rzetelna. Jeśli wprowadzisz zawyżone prawdopodobieństwo, kalkulator wyliczy stawkę zbyt dużą w stosunku do realnej przewagi, którą faktycznie posiadasz.

Ten kalkulator nie mówi Ci, czy warto zawrzeć zakład — do tego służy obliczenie przewagi lub wartości oczekiwanej. Mówi Ci, jaką część kapitału zaangażować, gdy już wierzysz, że masz przewagę, zwracając stawkę pełnego Kelly’ego wraz z alternatywami pół- i ćwierć-Kelly’ego.

Jak obliczane jest kryterium Kelly’ego

Wzór to: ułamek Kelly’ego = (b x p - q) / b, gdzie b to kurs dziesiętny minus 1 — Twój zysk z $1 stawki — p to prawdopodobieństwo wygranej, a q to 1 minus p, czyli prawdopodobieństwo przegranej. Pomnóż wynikowy ułamek przez swój kapitał, aby uzyskać stawkę pełnego Kelly’ego w dolarach.

Aby znaleźć b, zacznij od kursów amerykańskich i przelicz je na dziesiętne. Kurs amerykański +120 przelicza się na kurs dziesiętny 2.20, więc b wynosi 1.20 — za każdy postawiony $1, wygrana przynosi $1.20 zysku ponad zwrot stawki. Podstaw to b do wzoru wraz z prawdopodobieństwem wygranej p, a wzór zważy Twoją przewagę względem wypłaty: większe b oznacza, że wzór toleruje niższe prawdopodobieństwo wygranej, zanim zakład przestanie być opłacalny, a wyższe p podnosi zalecany ułamek.

Gdy masz już ułamek, stawka w dolarach to po prostu ta część Twojego kapitału. Ułamek Kelly’ego wynoszący 12.0% przy kapitale $1,000 oznacza stawkę pełnego Kelly’ego w wysokości $120.00. Pół-Kelly i ćwierć-Kelly po prostu biorą połowę lub ćwierć tego ułamka — a zatem połowę lub ćwierć tej stawki w dolarach. Sam wzór nigdy nie dostosowuje się do tego, jak bardzo jesteś pewien swojego szacunku prawdopodobieństwa; do tego służy wybór ułamka Kelly’ego poniżej 1.00.

Co pokazuje kalkulator

Po wprowadzeniu kursów amerykańskich, szacowanego prawdopodobieństwa wygranej i kapitału, kalkulator zwraca zestaw liczb, które pomogą Ci zdecydować, ile zaryzykować. Pierwszą z nich jest procent Kelly’ego — ułamek kapitału, który wzór zaleca postawić. Obok znajduje się stawka pełnego Kelly’ego w dolarach, czyli ten procent zastosowany do wprowadzonego kapitału.

Poniżej pokazane są stawki pół-Kelly i ćwierć-Kelly obok wartości pełnego Kelly’ego, dzięki czemu możesz zobaczyć, jak bardzo zalecane ryzyko maleje przy przejściu na bardziej konserwatywny ułamek. Nie ma tu osobnego werdyktu “czy powinienem obstawiać” — jeśli ułamek wyjdzie zero lub mniej, stawka wynosi zero, ponieważ zakład nie jest wystarczająco opłacalny przy tej cenie i prawdopodobieństwie, aby uzasadnić ryzykowanie jakiejkolwiek części kapitału.

Przykład obliczeń

Weźmy zakład po kursie +120, który oceniasz na 52% szans na wygraną, przy kapitale $1,000. Wybór to moneyline na underdoga. Przeliczenie +120 na kurs dziesiętny daje 2.20, więc b wynosi 1.20 — to Twój zysk z $1 stawki w przypadku wygranej.

Podstaw te liczby do wzoru Kelly’ego, a ułamek wyniesie 12.0%. Przy kapitale $1,000, ten ułamek daje stawkę pełnego Kelly’ego w wysokości $120.00. Jest to kwota, która według wzoru maksymalizuje długoterminową stopę wzrostu kapitału, przy założeniu, że faktycznie masz 52% szans na wygraną po kursie +120.

Większość graczy nie postawi jednak pełnych $120.00, ponieważ pełny Kelly zakłada, że Twoje szacunki 52% są idealnie trafne, a w rzeczywistości szacunki prawdopodobieństwa rzadko takie są. Zmniejszenie do pół-Kelly obniża stawkę do $60.00 — połowa ułamka, połowa ryzyka w dolarach — przy jednoczesnym zachowaniu większości długoterminowego wzrostu, jaki zapewniłaby pełna stawka. Ćwierć-Kelly obniża stawkę jeszcze bardziej, do $30.00, dla graczy, którzy chcą wykorzystać przewagę bez wahań kapitału, które wiążą się z bardziej agresywnym stawkowaniem.

Różnica między tymi trzema liczbami jest istotą całego procesu. Pełny Kelly, pół-Kelly i ćwierć-Kelly wynikają z tej samej wartości 12.0%, którą wzór produkuje przy tym samym kursie +120 i tym samym prawdopodobieństwie 52%; zmienia się tylko to, jaką część tego zalecanego ułamka jesteś skłonny zaryzykować. Gracz pewny swojej liczby 52% może skłaniać się ku pełnym $120.00. Gracz, który podejrzewa, że jego szacunki mogą być błędne, skłania się ku alternatywie $60.00 lub $30.00, akceptując wolniejszy wzrost w zamian za stabilniejszą krzywą kapitału.

Stawka pełnego Kelly’ego przy kursie +120 i kapitale $1,000 w zależności od prawdopodobieństwa wygranej

Procent Kelly’ego, a co za tym idzie stawka w dolarach, zależy od prawdopodobieństwa wygranej przy ustalonej cenie. Utrzymując kurs na poziomie +120 i kapitał $1,000, niewielkie zmiany w szacowanym prawdopodobieństwie wygranej znacząco zmieniają zalecaną stawkę, dlatego rzetelne prawdopodobieństwo jest ważniejsze niż sam wzór.

Pełny, pół- i ćwierć-Kelly przy pełnej stawce $120

Gdy kalkulator wygeneruje stawkę pełnego Kelly’ego, pozostaje decyzja, jaki jej ułamek zaryzykować. Poniższa tabela przedstawia stawkę pełnego Kelly’ego w wysokości $120.00 z przykładu i pokazuje, do jakich kwot redukuje ją każdy standardowy ułamek.

Martwy punkt Kelly’ego: Błędne szacunki prawdopodobieństwa

Kelly jest tak wiarygodny, jak prawdopodobieństwo, które mu dostarczysz, i surowo karze za nadmierną pewność siebie: przecenienie swojej przewagi sprawia, że pełny Kelly stawia za dużo, co obniża długoterminowy wzrost i może szybko doprowadzić do głębokich strat. Wzór nie ma możliwości sprawdzenia, czy wprowadzone prawdopodobieństwo odzwierciedla realną przewagę, czy tylko życzeniowe myślenie — traktuje wszystko, co wpiszesz, jak prawdę objawioną i odpowiednio dobiera stawkę.

Ta wrażliwość jest właśnie powodem, dla którego ułamkowy Kelly jest normą, a nie wyjątkiem. Pół-Kelly pozwala osiągnąć około trzy czwarte wzrostu, jaki wygenerowałby pełny Kelly, przy znacznie mniejszej niż połowa zmienności — jest to kompromis, który większość graczy uważa za opłacalny, gdy zobaczą, co seria złej wariancji robi z kapitałem przy pełnym Kellym. Ćwierć-Kelly jeszcze bardziej ogranicza zmienność, kosztem pewnego wzrostu, dla graczy, którzy wolą stabilny rozwój niż pogoń za teoretycznym maksimum.

Dwie inne zasady są równie ważne, jak wybrany ułamek. Po pierwsze, jeśli wzór zwraca zero lub liczbę ujemną, zakład nie ma dodatniego EV przy tej cenie i prawdopodobieństwie, a odpowiedzią Kelly’ego jest niestawianie niczego. Po drugie, Kelly zakłada, że możesz wielokrotnie obstawiać rosnący lub malejący kapitał; jest stworzony do powtarzalnych zakładów, a nie do pojedynczego zakładu, którego nigdy nie powtórzysz. W przypadku zakładu jednorazowego lub stałego kapitału, którego nie możesz obracać, agresywna stawka pełnego Kelly’ego ma mniej sensu niż dla gracza, który zawiera tego typu zakłady tydzień po tygodniu. Traktuj liczbę zwracaną przez kalkulator jako sufit tego, co możesz postawić, a nigdy jako cel, który musisz osiągnąć.

Kiedy kryterium Kelly’ego ma sens

Kryterium Kelly’ego jest stworzone dla graczy, którzy mają już proces szacowania prawdopodobieństwa wygranej i obstawiają wielokrotnie w czasie, pozwalając kapitałowi rosnąć dzięki procentowi składanemu z wielu zakładów. Jeśli potrafisz wyprodukować rzetelne, zdyscyplinowane szacunki prawdopodobieństwa dla zakładu — nie tylko przeczucie — i planujesz kontynuować obstawianie z tym samym kapitałem, Kelly daje Ci pryncypialny sposób na podjęcie decyzji, na jaką część tego kapitału zasługuje dana przewaga.

Ma to mniej sensu, gdy którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony. Jeśli Twoje szacunki prawdopodobieństwa są chwiejne lub dopiero uczysz się analizować dany sport lub typ zakładu, wprowadzenie niepewnej liczby do pełnego wzoru Kelly’ego może skutkować stawką zbyt dużą w stosunku do Twojej faktycznej pewności — dlatego właśnie pół- lub ćwierć-Kelly istnieje jako bezpieczniejszy domyślny wybór. Jeśli zawierasz pojedynczy, jednorazowy zakład zamiast długiej serii podobnych, argument o długoterminowym wzroście Kelly’ego nie ma zastosowania, ponieważ przewaga Kelly’ego jest statystyczna i ujawnia się po wielu powtórzonych zakładach, a nie jest gwarancją w pojedynczym przypadku.

Wielkość kapitału i tolerancja na ryzyko również mają znaczenie. Gracz z dużym, stabilnym kapitałem i realną, dobrze przetestowaną przewagą jest w najlepszej pozycji, by używać pełnego Kelly’ego lub czegoś zbliżonego. Gracz pracujący z mniejszym lub mniej pewnym kapitałem, albo taki, który po prostu nie znosi wahań związanych z agresywną stawką, zazwyczaj lepiej wyjdzie na trzymaniu się pół- lub ćwierć-Kelly’ego, niezależnie od tego, jak silna wydaje się przewaga na papierze.

Częste błędy

Wprowadzanie zawyżonego prawdopodobieństwa wygranej sprawia, że Kelly stawia za dużo, ponieważ wzór nie potrafi wykryć zbyt optymistycznego szacunku. Używanie pełnego Kelly’ego, gdy Twoja przewaga jest autentycznie niepewna, dodaje niepotrzebne ryzyko zamiast wyboru bezpieczniejszego ułamka stworzonego dla takiej niepewności. Stawianie czegokolwiek, gdy wzór zwraca zerowy lub ujemny ułamek, ignoruje sygnał samego Kelly’ego, że zakład nie jest wart zawarcia. Zapominanie o przeliczeniu stawki w miarę wzrostu lub spadku kapitału oznacza, że późniejsze zakłady są dobierane do wartości, która nie jest już dokładna.

Pełny Kelly vs ułamkowy Kelly

Pełny Kelly maksymalizuje teoretyczny wzrost, ale niesie ze sobą bardzo wysoką zmienność, co jest trudne, gdy Twoje szacunki prawdopodobieństwa nie są idealne. Pół-Kelly i ćwierć-Kelly zamieniają część tego wzrostu na znacznie gładszą krzywą kapitału.