Критерий Келли (Kelly Criterion)

Критерий Келли отвечает на один конкретный вопрос: если вы нашли ставку, в которой, по вашему мнению, у вас есть преимущество, какую часть своего банкролла вы должны рискнуть поставить? Это не способ поиска выигрышных ставок — вам все равно нужна независимая оценка истинной вероятности победы, прежде чем применять формулу Келли. Ее задача — превратить эту вероятность в сочетании с предложенным коэффициентом в размер ставки, который максимизирует скорость роста вашего банкролла на длинной дистанции, не допуская при этом слишком крупных ставок, которые могут привести к банкротству после серии неудач.

Механика: переведите коэффициенты в «чистый коэффициент» b, который показывает, сколько вы выигрываете на каждый $1 риска. При -110 ставка в $110 приносит $100 прибыли, поэтому b = 100/110 = 0.909. При +150 b = 1.5. Пусть p — ваша истинная вероятность выигрыша, а q = 1 - p — вероятность проигрыша. Доля Келли равна f* = (bp - q) / b, что также можно записать как f* = p - q/b. Подставьте свои числа, и результатом будет процент от вашего банкролла, который нужно поставить на это конкретное событие.

Формула чувствительна таким образом, что это удивляет людей при первом использовании. Небольшое преимущество дает крошечный рекомендуемый размер ставки — часто менее 2-3% от банкролла, — в то время как большое преимущество может выдать число вроде 20% или более. Это математически верно, но практически безрассудно, потому что ваша оценка вероятности — это предположение, а не уверенность, а Келли предполагает, что вы знаете p точно. Ошибитесь в p на несколько пунктов, и «полный Келли» может подтолкнуть вас к ставкам, которые приведут к жестоким просадкам, даже если ваше преимущество на дистанции реально. Вот почему почти никто на практике не ставит по «полному Келли» — обычно используют его долю.

Пример

Допустим, вы проанализировали матч NFL и пришли к выводу, что вероятность победы составляет 55%, но букмекер дает -110 на оба исхода. Ваш банкролл составляет $5,000.

Сначала найдем b: при -110, b = 100/110 = 0.909.

Затем применим f* = p - q/b:

• p = 0.55, q = 0.45
• q/b = 0.45 / 0.909 = 0.495
• f* = 0.55 - 0.495 = 0.055, или 5.5%

Полный Келли говорит поставить 5.5% от $5,000 = $275 на эту игру.

Теперь проверим логику: при -110 безубыточный процент побед составляет 52.4%. Вы считаете, что вероятность победы в этой игре 55%, значит, ваше преимущество над рынком составляет 2.6 процентных пункта. Это реальное, но скромное преимущество, и ставка в 5.5% отражает это — это не безумный риск, но и не символическая ставка.

Большинство дисциплинированных бетторов использовали бы здесь «половинный Келли», ставя 2.75% от банкролла, или около $137.50. «Половинный Келли» жертвует частью темпа роста на дистанции в обмен на снижение дисперсии примерно на 75%, что чрезвычайно важно, когда ваша оценка в 55% на самом деле может оказаться 53% или 57% в зависимости от качества вашей модели. Если ваша оценка вероятности окажется даже на пару пунктов оптимистичной, ставка по «половинному Келли» все равно оставит вас достаточно платежеспособным, чтобы продолжать делать ставки; ставка по «полному Келли» лишь быстрее усугубит ошибку.

Основные положения

• Ваше преимущество — это основа всего: Келли работает только в том случае, если ваша оценка вероятности выигрыша точна. Если вы просто угадываете 55%, потому что вам нравится команда, Келли уверенно рассчитает размер ставки на основе выдуманного вами числа. Формула не проверяет ваш анализ — она лишь масштабирует его.
• Используйте дробный Келли, а не полный: «Половинный Келли» (или даже «четвертной Келли» для менее уверенных преимуществ) жертвует частью теоретического темпа роста, но радикально снижает дисперсию и защищает от переоценки своего преимущества, что делает почти каждый.
• Маленькое преимущество означает маленькие ставки, и это правильно: Если ваша модель говорит, что ставка имеет вероятность лишь 51.5% против безубыточной линии в 52.4%, Келли (правильно) подскажет вам, что преимущества нет вовсе — не заставляйте себя делать ставку только потому, что вы потратили время на ее анализ.
• Пересчитывайте для каждой ставки, а не один раз: Ваш банкролл меняется после каждого результата, а значит, меняется и правильный размер ставки в долларовом выражении. Келли — это процент от текущего банкролла, поэтому серия проигрышей должна уменьшать ваши ставки, а серия выигрышей — увеличивать их; фиксированные ставки по $100 на игру полностью игнорируют этот факт.
• Это создано для повторяющихся ставок, а не для разовых событий: Келли максимизирует долгосрочный геометрический рост на множестве ставок с независимыми преимуществами. Одиночный экспресс на один матч, который вы больше никогда не увидите, на самом деле не является задачей для Келли — здесь нет «длинной дистанции», на которой формула могла бы оптимизировать результат.
• Коррелированные ставки нарушают допущения: Келли предполагает, что каждая ставка оценивается относительно всего вашего банкролла независимо. Если вы делаете пять ставок по Келли на пропсы из одного и того же матча, у вас на самом деле нет пяти независимых преимуществ — у вас одна большая коррелированная позиция с пятью разными ценниками.