Калькулятор критерия Келли

Этот инструмент находит математически оптимальный размер ставки в виде процента от вашего банкролла, если вы уже знаете свое преимущество и американские коэффициенты на денежную линию (moneyline), фору или тотал.

Что такое критерий Келли?

Критерий Келли отвечает на вопрос, который оставляет открытым ожидаемая ценность (EV): если вы знаете, что ставка имеет +EV, сколько именно нужно поставить? Он возвращает долю вашего банкролла, которая максимизирует долгосрочный рост — достаточно большую, чтобы реализовать реальное преимущество, и достаточно малую, чтобы никогда не рисковать полным крахом. Ставите больше, чем говорит Келли — ваш банкролл растет медленнее и подвержен сильным колебаниям; ставите меньше — вы теряете потенциальный рост.

Поскольку полный критерий Келли агрессивен и не прощает ошибок в оценке, большинство игроков используют его дробную часть — полу-Келли или четверть-Келли — чтобы сделать процесс менее рискованным. Формуле не важно, как вы пришли к своей вероятности выигрыша; ей важно лишь то, чтобы число, которое вы вводите, было честным. Если вы введете завышенную вероятность, формула с радостью рассчитает ставку, которая будет слишком велика для вашего реального преимущества.

Этот калькулятор не говорит вам, стоит ли делать ставку — для этого существуют расчеты преимущества или ожидаемой ценности. Он говорит, какую часть банкролла стоит выделить, если вы уже уверены в наличии преимущества, предоставляя размер ставки по полному критерию Келли наряду с альтернативами полу- и четверть-Келли.

Как рассчитывается критерий Келли

Формула выглядит так: Доля Келли = (b x p - q) / b, где b — это десятичный коэффициент минус 1 (ваша прибыль с $1 ставки), p — вероятность выигрыша, а q — 1 минус p (вероятность проигрыша). Умножьте полученную долю на ваш банкролл, чтобы получить размер ставки по полному критерию Келли в долларах.

Чтобы найти b, возьмите американские коэффициенты и переведите их в десятичные. Американский коэффициент +120 превращается в десятичный 2.20, значит b равно 1.20 — на каждый поставленный $1 выигрыш приносит $1.20 прибыли сверх возврата самой ставки. Подставьте это b в формулу вместе с вашей вероятностью выигрыша p, и она сопоставит ваше преимущество с десятичной выплатой: большее b означает, что формула допускает более низкую вероятность выигрыша, прежде чем ставка перестанет быть выгодной, а более высокое p увеличивает рекомендуемую долю.

Как только вы получили долю, размер ставки в долларах — это просто эта доля от вашего банкролла. Доля Келли 12.0% при банкролле $1,000 означает ставку по полному критерию Келли в размере $120.00. Полу-Келли и четверть-Келли просто берут половину или четверть этой доли — и, следовательно, половину или четверть этой долларовой ставки. Сама формула не корректирует вашу уверенность в оценке вероятности; для этого и существует выбор доли Келли ниже 1.00.

Что показывает калькулятор

После того как вы введете американские коэффициенты, оценочную вероятность выигрыша и ваш банкролл, калькулятор вернет набор чисел, которые помогут вам решить, сколько стоит рискнуть. Первое — это процент Келли, доля вашего банкролла, которую формула рекомендует поставить. Рядом с ним указана ставка по полному критерию Келли в долларах, которая представляет собой этот процент, примененный к введенному вами банкроллу.

Ниже показаны ставки полу-Келли и четверть-Келли рядом с полным значением, чтобы вы могли увидеть, как снижается рекомендуемый риск при переходе к более консервативной доле. Здесь нет отдельного вердикта «стоит ли ставить» — если итоговая доля равна нулю или отрицательна, отображаемая ставка равна нулю, так как ставка недостаточно выгодна при данной цене и вероятности, чтобы оправдать риск частью банкролла.

Пример расчета

Допустим, вы делаете ставку с коэффициентом +120, которую оцениваете как 52% шанс на победу, при банкролле $1,000. Это ставка на аутсайдера (moneyline). Перевод +120 в десятичный коэффициент дает 2.20, значит b равно 1.20 — ваша прибыль с $1 ставки в случае выигрыша.

Подставьте эти числа в формулу Келли, и доля составит 12.0%. При банкролле $1,000 эта доля дает ставку по полному критерию Келли в размере $120.00. Это сумма, которая, согласно формуле, максимизирует долгосрочный темп роста вашего банкролла, при условии, что у вас действительно есть 52% шанс на победу при коэффициенте +120.

Однако большинство игроков не будут ставить полные $120.00, потому что полный критерий Келли предполагает, что ваша оценка в 52% абсолютно точна, а в реальном мире оценки вероятности редко бывают таковыми. Снижение до полу-Келли уменьшает ставку до $60.00 — половина доли, половина долларового риска — при этом сохраняя большую часть долгосрочного роста, который обеспечила бы полная ставка. Четверть-Келли снижает ставку еще сильнее, до $30.00, для игроков, которые хотят использовать преимущество без колебаний, возникающих при более агрессивных ставках.

Разница между этими тремя числами — суть данного упражнения. Полный, полу- и четверть-Келли происходят из одного и того же значения 12.0%, которое формула выдает при цене +120 и вероятности 52%; меняется только то, какую часть этой рекомендуемой доли вы готовы поставить на кон. Игрок, уверенный в своей оценке 52%, может склониться к полным $120.00. Игрок, подозревающий, что его оценка может быть неточной, склонится к варианту $60.00 или $30.00, принимая более медленный рост ради более плавной кривой банкролла.

Ставка по полному критерию Келли при +120 и банкролле $1,000 в зависимости от вероятности выигрыша

Процент Келли, а следовательно и ставка в долларах, зависят от вероятности выигрыша при фиксированной цене. Если удерживать цену на уровне +120, а банкролл на уровне $1,000, небольшие изменения в оценочной вероятности существенно меняют рекомендуемую ставку, поэтому честная вероятность важнее, чем сама формула.

Полный, полу- и четверть-Келли для ставки $120

Как только калькулятор выдает ставку по полному критерию Келли, остается решить, какую ее часть рискнуть. В таблице ниже показано, как каждая стандартная доля уменьшает ставку $120.00 в долларовом выражении.

«Слепое пятно» Келли: неверные оценки вероятности

Критерий Келли настолько надежен, насколько надежна вероятность, которую вы в него вводите, и он сурово наказывает за самоуверенность: переоцените свое преимущество, и полный Келли приведет к чрезмерным ставкам, что замедлит долгосрочный рост и может быстро загнать вас в глубокую яму. У формулы нет способа узнать, отражает ли введенная вами вероятность реальное преимущество или выдачу желаемого за действительное — она воспринимает все, что вы вводите, как истину в последней инстанции и соответствующим образом определяет размер ставки.

Именно из-за этой чувствительности дробный Келли является нормой, а не исключением. Полу-Келли обеспечивает около трех четвертей роста, который дал бы полный Келли, при гораздо меньшей волатильности — сделка, которую большинство игроков считают выгодной после того, как увидят, что серия неудач делает с банкроллом при полном Келли. Четверть-Келли еще больше снижает волатильность ценой некоторого роста для тех игроков, которые предпочитают стабильный прогресс погоне за теоретическим максимумом.

Два других правила так же важны, как и выбранная вами доля. Во-первых, если формула возвращает ноль или отрицательное число, ставка не является +EV при данной цене и вероятности, и ответ Келли — не ставить ничего. Во-вторых, Келли предполагает, что вы можете делать ставки на растущий или уменьшающийся банкролл много раз; он создан для повторяющихся ставок, а не для одной ставки, которую вы никогда не повторите. Для разовой ставки или фиксированного банкролла, который вы не можете наращивать, агрессивная ставка по полному Келли имеет меньше смысла, чем для игрока, делающего подобные ставки неделю за неделей. Относитесь к числу, которое возвращает калькулятор, как к потолку того, чем вы можете рискнуть, а не как к цели, которую вы обязаны достичь.

Когда критерий Келли имеет смысл

Критерий Келли создан для игроков, у которых уже есть процесс оценки вероятностей выигрыша и которые делают ставки регулярно, позволяя банкроллу расти за счет многих ставок. Если вы можете составить честную, дисциплинированную оценку вероятности для ставки — а не просто догадку — и планируете продолжать делать ставки с тем же банкроллом, Келли дает вам принципиальный способ решить, какого размера ставку заслуживает данное преимущество.

Он имеет меньше смысла, если одно из условий нарушается. Если ваши оценки вероятности шатки или вы новичок в гандикаппинге конкретного вида спорта или типа ставок, ввод неопределенного числа в формулу полного Келли может привести к ставке, слишком большой для вашей реальной уверенности — именно поэтому полу- или четверть-Келли существуют как более безопасный вариант по умолчанию. Если вы делаете одну разовую ставку, а не длинную серию подобных, аргумент о долгосрочном росте, лежащий в основе Келли, не совсем применим, так как преимущество Келли — это статистический эффект, который проявляется на многих повторяющихся ставках, а не гарантия на отдельную ставку.

Размер банкролла и толерантность к риску также имеют значение. Игрок с большим, стабильным банкроллом и реальным, проверенным преимуществом находится в лучшем положении для использования полного Келли или чего-то близкого к нему. Игроку, работающему с меньшим или менее определенным банкроллом, или тому, кто просто не может вынести колебания, возникающие при агрессивной ставке, обычно лучше придерживаться полу- или четверть-Келли, независимо от того, насколько сильным выглядит преимущество на бумаге.

Распространенные ошибки

Ввод завышенной вероятности выигрыша заставляет Келли делать чрезмерные ставки, так как формула не может обнаружить слишком оптимистичную оценку. Использование полного Келли, когда ваше преимущество действительно сомнительно, добавляет ненужный риск вместо выбора более безопасной доли, созданной для такой неопределенности. Ставка чего-либо, когда формула возвращает нулевую или отрицательную долю, игнорирует сигнал самого Келли о том, что ставка не стоит того, чтобы ее делать. Забывание о пересчете ставки по мере роста или уменьшения банкролла означает, что последующие ставки рассчитываются исходя из цифры, которая больше не является точной.

Полный Келли против дробного Келли

Полный Келли максимизирует теоретический рост, но несет очень высокую волатильность — сложное сочетание, когда ваши оценки вероятности далеки от совершенства. Полу-Келли и четверть-Келли обменивают часть этого роста на гораздо более плавную кривую банкролла.