Критерій Келлі (Kelly Criterion)

Критерій Келлі відповідає на одне конкретне питання: якщо ви робите ставку, де, на вашу думку, у вас є перевага, яку частку свого банкролу ви повинні фактично ризикнути? Це не спосіб знайти виграшні ставки — вам все одно потрібна незалежна оцінка справжньої ймовірності виграшу, перш ніж Келлі почне працювати. Що він робить, так це перетворює цю ймовірність у поєднанні з ціною, яку вам пропонують, на розмір ставки, який максимізує швидкість зростання вашого банкролу протягом тривалої серії ставок, не ставлячи при цьому занадто багато, щоб невдала серія не знищила вас.

Механіка: перетворіть коефіцієнти на показник «чистих коефіцієнтів» b, який показує, скільки ви виграєте на кожен $1 ризику. При -110 ставка $110 приносить $100 прибутку, отже b = 100/110 = 0.909. При +150, b = 1.5. Нехай p — ваша справжня ймовірність виграшу, а q = 1 - p — ймовірність програшу. Частка Келлі дорівнює f* = (bp - q) / b, що також можна записати як f* = p - q/b. Підставте свої числа, і результатом буде відсоток вашого банкролу, який слід поставити на це окреме парі.

Формула чутлива таким чином, що це дивує людей, коли вони використовують її вперше. Крихітна перевага дає крихітну рекомендовану ставку — часто менше 2-3% від банкролу — тоді як велика перевага може видати число на кшталт 20% або більше. Це математично правильно, але практично безрозсудно, оскільки ваша оцінка ймовірності — це припущення, а не впевненість, а Келлі припускає, що ви знаєте p точно. Помиліться в p на кілька пунктів, і «повний Келлі» може підштовхнути вас до ставок, які призведуть до жорстоких просідань, навіть якщо ваша довгострокова перевага реальна. Ось чому майже ніхто на практиці не ставить за «повним Келлі» — вони ставлять лише його частку.

Приклад

Припустимо, ви аналізуєте матч NFL і приходите до цифри, яка, на вашу впевнену думку, має 55% шансів на перемогу, але букмекер дає -110 на обидві сторони. Ваш банкрол становить $5,000.

Спочатку отримаємо b: при -110, b = 100/110 = 0.909.

Потім застосуємо f* = p - q/b:

• p = 0.55, q = 0.45
• q/b = 0.45 / 0.909 = 0.495
• f* = 0.55 - 0.495 = 0.055, або 5.5%

Повний Келлі каже поставити 5.5% від $5,000 = $275 на цю гру.

Тепер перевіримо, чи має математика сенс: при -110 беззбитковий відсоток виграшів становить 52.4%. Ви вважаєте, що ця гра має 55% шансів на перемогу, тому ваша перевага над ринком становить 2.6 відсоткових пункти. Це реальна, але скромна перевага, і ставка 5.5% відображає це — не шалений ризик, але й не символічна ставка.

Більшість дисциплінованих гравців натомість використали б «половинний Келлі», ставлячи 2.75% від банкролу, або близько $137.50. Половинний Келлі жертвує частиною довгострокового темпу зростання в обмін на приблизно 75% зниження дисперсії, що має величезне значення, коли ваша оцінка 55% насправді може бути 53% або 57% залежно від того, наскільки хороша ваша модель. Якщо ваша оцінка ймовірності виявиться навіть на пару пунктів оптимістичною, ставка за половинним Келлі все одно залишить вас достатньо платоспроможними, щоб продовжувати робити ставки; ставка за повним Келлі помножить помилку швидше.

Основні моменти

• Ваша перевага — це головне: Келлі працює лише тоді, коли ваша оцінка ймовірності виграшу є точною. Якщо ви просто вгадуєте 55%, тому що вам подобається команда, Келлі впевнено розрахує розмір ставки навколо числа, яке ви вигадали. Формула не перевіряє ваш аналіз — вона лише масштабує його.
• Використовуйте дробовий Келлі, а не повний: Половинний Келлі (або навіть чверть Келлі для менш впевнених переваг) жертвує певним теоретичним темпом зростання, але різко знижує дисперсію та захищає від переоцінки вашої переваги, що робить майже кожен.
• Маленькі переваги означають маленькі ставки, і це правильно: Якщо ваша модель каже, що ставка варта лише 51.5% проти лінії беззбитковості 52.4%, Келлі (правильно) скаже вам, що переваги взагалі немає — не змушуйте себе ставити лише тому, що ви витратили час на оцінку.
• Перераховуйте для кожної ставки, а не один раз: Ваш банкрол змінюється після кожного результату, а отже, і правильна ставка в доларовому еквіваленті. Келлі — це відсоток від поточного банкролу, тому серія програшів повинна зменшувати ваші ставки, а серія виграшів — збільшувати їх; фіксовані ставки по $100 на гру повністю ігнорують це.
• Це створено для ставок, які ви будете повторювати, а не для разових випадків: Келлі максимізує довгострокове геометричне зростання через багато парі з незалежними перевагами. Одиночний експрес на одну гру, який ви більше ніколи не повторите, насправді не є проблемою для Келлі — для формули немає «довгострокової перспективи», яку можна було б оптимізувати.
• Корельовані ставки порушують припущення: Келлі припускає, що кожна ставка оцінюється відносно всього вашого банкролу незалежно. Якщо ви робите п’ять ставок розміром за Келлі на пропи з однієї гри, у вас насправді немає п’яти незалежних переваг — у вас є одна велика корельована позиція з п’ятьма різними цінниками.