Калькулятор критерію Келлі

Цей інструмент знаходить математично оптимальний розмір ставки, виражений у відсотках від вашого банкролу, за умови, що ви вже знаєте свою перевагу та американські коефіцієнти на грошовій лінії (moneyline), форі або тоталі.

Що таке критерій Келлі?

Критерій Келлі відповідає на питання, яке залишає відкритим очікувана вартість (expected value): як тільки ви дізналися, що ставка має +EV, скільки насправді варто поставити? Він повертає частку вашого банкролу, яка максимізує довгострокове зростання — достатньо велику, щоб використати реальну перевагу, і достатньо малу, щоб ніколи не ризикувати банкрутством. Якщо ставити більше, ніж радить Келлі, ваш банкрол зростатиме повільніше і зазнаватиме більших коливань; якщо менше — ви втрачаєте потенційне зростання.

Оскільки повний критерій Келлі є агресивним і не прощає помилок в оцінках, більшість гравців використовують його частку — половину Келлі або чверть Келлі — щоб зробити процес менш ризикованим. Формулі байдуже, як саме ви прийшли до своєї ймовірності виграшу; їй важливо лише те, щоб число, яке ви вводите, було чесним. Якщо ви введете завищену ймовірність, вона розрахує ставку, яка буде занадто великою для реальної переваги, яку ви маєте.

Цей калькулятор не підказує, чи варто робити ставку — для цього існують розрахунки переваги або очікуваної вартості. Він показує, яку частину банкролу варто виділити, якщо ви вже впевнені у своїй перевазі, надаючи розмір ставки за повним критерієм Келлі разом із альтернативами для половини та чверті Келлі.

Як розраховується критерій Келлі

Формула виглядає так: Дріб Келлі = (b x p - q) / b, де b — це десятковий коефіцієнт мінус 1 (ваш прибуток на $1 ставки), p — ваша ймовірність виграшу, а q — 1 мінус p (ваша ймовірність програшу). Помножте отриманий дріб на ваш банкрол, щоб отримати розмір ставки за повним критерієм Келлі в доларах.

Щоб знайти b, почніть з американських коефіцієнтів і перетворіть їх на десяткові. Американський коефіцієнт +120 перетворюється на десятковий 2.20, отже b дорівнює 1.20 — на кожен $1 ставки виграш приносить $1.20 прибутку понад повернення самої ставки. Підставте це b у формулу разом із вашою ймовірністю виграшу p, і вона зважить вашу перевагу проти десяткової виплати: більше b означає, що формула допускає нижчу ймовірність виграшу, перш ніж ставка перестане бути вигідною, а вищий показник p збільшує рекомендовану частку.

Як тільки ви отримали дріб, розмір ставки в доларах — це просто відповідна частка вашого банкролу. Дріб Келлі 12.0% при банкролі $1,000 означає ставку за повним критерієм Келлі у розмірі $120.00. Половина Келлі та чверть Келлі просто беруть половину або чверть від цього дробу — і, відповідно, половину або чверть від цієї суми в доларах. Сама формула не коригується залежно від того, наскільки ви впевнені у своїй оцінці ймовірності; саме для цього і обирають частку Келлі менше 1.00.

Що показує калькулятор

Після того, як ви введете американські коефіцієнти, оціночну ймовірність виграшу та ваш банкрол, калькулятор видасть набір чисел, які допоможуть вам вирішити, чим ризикувати. Першим є відсоток Келлі — частка вашого банкролу, яку формула рекомендує поставити. Поруч із ним вказано розмір ставки за повним критерієм Келлі в доларах, що є результатом застосування цього відсотка до введеного банкролу.

Нижче відображаються ставки для половини та чверті Келлі поруч із показником повного Келлі, щоб ви могли побачити, як зменшується рекомендований ризик при переході до більш консервативної частки. Тут немає окремого вердикту “чи варто робити ставку” — якщо отриманий дріб дорівнює нулю або є від’ємним, відображена ставка дорівнює нулю, оскільки ставка не є достатньо вигідною при цій ціні та ймовірності, щоб виправдати ризик будь-якою частиною банкролу.

Приклад розрахунку

Візьмемо ставку з коефіцієнтом +120, яку ви оцінюєте як таку, що має 52% шансів на виграш, при банкролі $1,000. Це ставка на аутсайдера (moneyline). Перетворення +120 у десятковий коефіцієнт дає 2.20, отже b дорівнює 1.20 — ваш прибуток на $1 ставки у разі виграшу.

Підставте ці числа у формулу Келлі, і дріб складе 12.0%. Для банкролу $1,000 цей дріб дає ставку за повним критерієм Келлі у розмірі $120.00. Це сума, яка, за розрахунками формули, максимізує темп довгострокового зростання вашого банкролу, за умови, що ви дійсно маєте 52% шансів на виграш при коефіцієнті +120.

Більшість гравців, проте, не ставитимуть повні $120.00, оскільки повний критерій Келлі передбачає, що ваша оцінка у 52% є абсолютно точною, а в реальному світі оцінки ймовірності рідко бувають такими. Зменшення до половини Келлі знижує ставку до $60.00 — половина дробу, половина доларового ризику — при цьому зберігаючи більшу частину довгострокового зростання, яке забезпечила б повна ставка. Чверть Келлі зменшує її ще більше, до $30.00, для гравців, які хочуть використовувати свою перевагу без сильних коливань, що супроводжують агресивні ставки.

Різниця між цими трьома числами — це головна суть методу. Повний Келлі, половина Келлі та чверть Келлі походять від однакового показника 12.0%, який формула видає для ціни +120 та ймовірності 52%; змінюється лише те, яку частину цієї рекомендованої частки ви готові поставити на кін. Гравець, впевнений у своєму числі 52%, може схилятися до повних $120.00. Гравець, який підозрює, що його оцінка може бути неточною, схиляється до варіанту $60.00 або $30.00, приймаючи повільніше зростання заради більш стабільної кривої банкролу.

Ставка за повним критерієм Келлі при +120 на банкрол $1,000 залежно від ймовірності виграшу

Відсоток Келлі, а отже і розмір ставки в доларах, залежить від вашої ймовірності виграшу, коли ціна зафіксована. Якщо тримати ціну на рівні +120, а банкрол на рівні $1,000, невеликі зміни у вашій оціночній ймовірності виграшу суттєво змінюють рекомендовану ставку, тому чесна ймовірність важливіша за саму формулу.

Повний, половинний та чверть Келлі для повної ставки $120

Після того, як калькулятор видає ставку за повним критерієм Келлі, залишається вирішити, яку її частку ризикувати. У таблиці нижче наведено ставку $120.00 за повним критерієм Келлі з прикладу та показано, як кожна стандартна частка зменшує її в доларовому еквіваленті.

Сліпа пляма Келлі: Погані оцінки ймовірності

Критерій Келлі настільки надійний, наскільки надійна ймовірність, яку ви в нього вводите, і він жорстоко карає за надмірну впевненість: переоцініть свою перевагу, і повний Келлі призведе до завищених ставок, що сповільнить довгострокове зростання і може швидко загнати вас у глибоку яму. Формула не має способу дізнатися, чи відображає введена вами ймовірність реальну перевагу, чи це видавання бажаного за дійсне — вона сприймає все, що ви вводите, як істину, і відповідно визначає розмір ставки.

Саме через цю чутливість дробовий Келлі є нормою, а не винятком. Половина Келлі забезпечує близько трьох чвертей зростання, яке дав би повний Келлі, з набагато меншою волатильністю — компроміс, який більшість гравців вважають вартим того, побачивши, що серія невдач робить із банкролом при повному Келлі. Чверть Келлі ще більше знижує волатильність ціною певного зростання для тих гравців, які віддають перевагу стабільному руху, а не гонитві за теоретичним максимумом.

Два інших правила мають таке ж значення, як і обрана вами частка. По-перше, якщо формула повертає нуль або від’ємне число, ставка не має +EV при цій ціні та ймовірності, і відповідь Келлі — не ставити нічого. По-друге, Келлі передбачає, що ви можете багато разів робити ставки на банкрол, що зростає або зменшується; він створений для повторюваних ставок, а не для однієї ставки, яку ви ніколи не повторите. Для разової ставки або фіксованого банкролу, який ви не можете нарощувати, агресивна ставка за повним критерієм Келлі має менше сенсу, ніж для гравця, який робить таку ж ставку тиждень за тижнем. Ставтеся до числа, яке повертає калькулятор, як до стелі того, що ви можете поставити, а не як до цілі, яку ви зобов’язані досягти.

Коли критерій Келлі має сенс

Критерій Келлі створений для гравців, які вже мають процес оцінки ймовірностей виграшу і роблять ставки неодноразово протягом тривалого часу, дозволяючи банкролу зростати завдяки складним відсоткам. Якщо ви можете створити чесну, дисципліновану оцінку ймовірності для ставки — а не просто інтуїтивне припущення — і плануєте продовжувати робити ставки з тим самим банкролом, Келлі дає вам принциповий спосіб вирішити, наскільки великої частки цього банкролу заслуговує дана перевага.

Це має менше сенсу, коли будь-яка з цих умов порушується. Якщо ваші оцінки ймовірності хиткі або ви новачок у прогнозуванні певного виду спорту чи типу ставок, введення невизначеного числа у формулу повного Келлі може призвести до ставки, занадто великої для впевненості, яку ви насправді маєте — саме тому половина або чверть Келлі існують як безпечніші варіанти за замовчуванням. Якщо ви робите одну разову ставку, а не довгу серію подібних, аргумент про довгострокове зростання, що лежить в основі Келлі, насправді не застосовується, оскільки перевага Келлі — це статистичний показник, який проявляється протягом багатьох повторюваних ставок, а не гарантія для будь-якої окремої ставки.

Розмір банкролу та толерантність до ризику також мають значення. Гравець із великим, стабільним банкролом і справжньою, перевіреною перевагою знаходиться в найкращому положенні для використання повного Келлі або чогось близького до нього. Гравцю, який працює з меншим або менш певним банкролом, або тому, хто просто не може витримати коливання, що супроводжують агресивну ставку, загалом краще дотримуватися половини або чверті Келлі, незалежно від того, наскільки сильною виглядає перевага на папері.

Поширені помилки

Введення завищеної ймовірності виграшу змушує Келлі робити завищені ставки, оскільки формула не може виявити занадто оптимістичну оцінку. Використання повного Келлі, коли ваша перевага справді невизначена, додає непотрібний ризик замість вибору безпечнішої частки, створеної для такої невизначеності. Ставка будь-якої суми, коли формула повертає нульовий або від’ємний дріб, ігнорує власний сигнал Келлі про те, що ставку не варто робити. Забування про перерахунок ставки в міру зростання або зменшення банкролу означає, що наступні ставки розраховуються на основі цифри, яка вже не є точною.

Повний Келлі проти дробового Келлі

Повний Келлі максимізує теоретичне зростання, але несе дуже високу волатильність — складне поєднання, коли ваші оцінки ймовірності не є ідеальними. Половина Келлі та чверть Келлі обмінюють частину цього зростання на набагато стабільнішу криву банкролу.