Калькулятор ставок за розподілом Пуассона

Цей калькулятор Пуассона перетворює очікувану кількість голів кожної команди на ймовірності рахунку та результату матчу, надаючи американським гравцям модельну лінію для порівняння з грошовою лінією (moneyline) букмекерської контори у футболі, хокеї та інших видах спорту з низькою результативністю в США.

Що таке калькулятор Пуассона?

Розподіл Пуассона — це стандартний інструмент для моделювання видів спорту з низькою результативністю, таких як футбол і хокей, де голи є відносно рідкісними, і кожен з них змінює результат. Калькулятор Пуассона приймає один вхідний параметр для кожної команди — очікувану кількість голів (темп забивання, який ви прогнозуєте для цього матчу) — і перетворює його на повний розподіл ймовірностей: шанс того, що команда заб’є рівно нуль голів, рівно один, рівно два і так далі. Виконайте той самий розрахунок для обох команд, і ви отримаєте два незалежні розподіли рахунків. Перемножте ймовірність певної кількості голів команди господарів на ймовірність іншої кількості голів команди гостей, і ви отримаєте ймовірність саме такого фінального рахунку. Підсумуйте кожен рахунок, де команда господарів виграє, і ви отримаєте ймовірність перемоги господарів за моделлю; зробіть те саме для нічиїх та перемог гостей. Ці три відсотки і є реальним результатом. Отримавши ймовірність перемоги господарів, нічиєї або перемоги гостей, ви можете перетворити її на справедливий коефіцієнт і порівняти з тим, що пропонує букмекер. Якщо модель каже, що результат більш імовірний, ніж передбачає коефіцієнт букмекера, це і є той розрив, який шукає гравець. Пуассон не передбачає, що станеться в одному конкретному матчі — він показує вам, якими мають бути справедливі коефіцієнти, виходячи з ваших вхідних даних про очікувані голи.

Як виконуються розрахунки в калькуляторі Пуассона

Формулою, що лежить в основі калькулятора, є функція маси ймовірності Пуассона: ймовірність рівно k голів дорівнює lambda у степені k, помножена на e у степені мінус lambda, поділена на k факторіал, де lambda — це очікувана кількість голів команди. У прикладі калькулятора команда господарів має lambda 1.5. Підстановка k = 0, 1, 2 та 3 у формулу дає розподіл для команди господарів: 22.3% для нуля голів, 33.5% для одного гола, 25.1% для двох голів та 12.6% для трьох голів. Lambda команди гостей 1.1 проходить через ту саму формулу для побудови власного розподілу. Після цього калькулятор будує повну сітку рахунків: для кожної комбінації голів господарів і гостей він множить ймовірність такої кількості голів команди господарів на ймовірність такої кількості голів команди гостей, оскільки результати обох команд розглядаються як незалежні. Кожна клітинка — це ймовірність одного конкретного фінального рахунку. Щоб отримати три основні цифри, калькулятор підсумовує клітинки: клітинки, де господарі перевершують гостей, формують ймовірність перемоги господарів, клітинки, де вони рівні, формують ймовірність нічиєї, а клітинки, де гості перевершують господарів, формують ймовірність перемоги гостей. Для матчу 1.5 проти 1.1 це дає 46.4% на перемогу господарів, 25.8% на нічию та 27.8% на перемогу гостей — три цифри, побудовані виключно на двох вхідних значеннях lambda.

Що показує калькулятор

Результат роботи калькулятора має два рівні. По-перше, він показує розподіл рахунків кожної команди — ймовірність того, що дана команда заб’є рівно нуль голів, один гол, два голи тощо, на основі вхідних даних про очікувані голи. Тут ви можете побачити, як помірний темп забивання концентрує більшу частину ймовірності на низьких, конкретних кількостях голів, а не розподіляє її рівномірно. По-друге, він показує три ймовірності результату матчу, отримані шляхом поєднання розподілів обох команд: шанс на перемогу господарів, нічию та перемогу гостей. Ці три цифри представляють повний спектр можливих результатів, тому саме їх ви порівнюєте з цінами букмекерської контори. Разом розподіл рахунків і відсотки результатів показують не лише те, що очікує модель, а й те, які саме рахунки впливають на цифри для перемоги господарів, нічиєї чи перемоги гостей.

Приклад розрахунку

Візьмемо команду господарів з очікуваними 1.5 голами за матч проти команди гостей, яка має забити 1.1 гола. Запуск lambda 1.5 команди господарів через формулу Пуассона для кількох імовірних рахунків дає такий розподіл: 22.3% шансів на 0 голів, 33.5% шансів на 1 гол, 25.1% шансів на 2 голи та 12.6% шансів на 3 голи. Один гол є найбільш імовірним результатом для господарів, навіть якщо 1.5 є «середнім» значенням — Пуассон концентрує ймовірність на цілих числах поблизу lambda, а не на самому значенні lambda, оскільки команда не може забити дробову частину гола. Lambda 1.1 команди гостей проходить через ідентичний процес для побудови власного розподілу рахунків. Перемноження незалежних ймовірностей обох команд для кожної комбінації голів господарів і гостей, а потім підсумовування результатів залежно від того, хто виграє, створює модель результату матчу: 46.4% на перемогу господарів, 25.8% на нічию та 27.8% на перемогу гостей. При темпі 1.5 очікуваних голів команда господарів найімовірніше заб’є рівно один гол (33.5%) і збереже ворота «сухими» у 22.3% випадків. Поєднання обох розподілів дає 46.4% на перемогу господарів, 25.8% на нічию та 27.8% на перемогу гостей — справедлива лінія для порівняння з цінами букмекера. Звідси гравець перетворює ці три відсотки моделі на справедливий коефіцієнт і порівнює їх із фактичною грошовою лінією букмекера на той самий матч. Будь-який результат, де відсоток моделі помітно вищий за число, що випливає з коефіцієнта букмекера, є кандидатом, який варто розглянути ближче — це не гарантія, а сигнал про те, що ринок і модель не згодні щодо ймовірності цього результату.

Ймовірності голів за Пуассоном при 1.5 очікуваних голах

Ось повний розподіл за кількістю голів для команди з показником 1.5 очікуваних голів, lambda команди господарів із прикладу вище. Кожен рядок — це ймовірність, яку калькулятор призначає цій точній кількості голів. Ймовірності зростають від нуля голів, досягають піку на одному голі та зменшуються зі збільшенням кількості голів.

Результат матчу за моделлю проти справедливої ціни

Після того, як сітка рахунків підсумована в ймовірності перемоги господарів, нічиєї та перемоги гостей, калькулятор перетворює кожен відсоток на справедливий коефіцієнт, який він передбачає. Цей справедливий коефіцієнт — це те, що результат «має» оплачуватися без урахування маржі букмекера — число, з яким потрібно порівнювати, а не обов’язково те, яке вам фактично запропонують.

Обмеження моделі Пуассона

Пуассон справді корисний, але він базується на припущеннях, які не завжди справджуються в реальному матчі. Найголовніше з них — незалежність: модель розглядає кількість голів кожної команди як не пов’язану з іншою, що занижує кількість нічиїх і результативність ігор загалом. Реальні матчі дають більше результатів 0-0 та 1-1, ніж передбачає чистий Пуассон, оскільки команди коригують свою гру залежно від рахунку під час матчу — те, що припущення про незалежність не може врахувати. Багато гравців коригують це за допомогою поправки Діксона-Коулза, яка трохи підвищує ймовірність низьких, близьких рахунків порівняно з тим, що видає звичайний Пуассон. Модель також припускає постійний темп забивання голів протягом усього матчу, розглядаючи lambda як фіксовану від початку до кінця. Насправді темп забивання змінюється через червоні картки, стан гри та команду, що веде в рахунку і відходить у захист, замість того, щоб атакувати у своєму початковому темпі. Жодна з цих динамік невидима для калькулятора, який бачить лише одне число очікуваних голів для кожної команди. Це вказує на найбільше джерело помилок: вхідні дані. Вся модель настільки хороша, наскільки хороша оцінка очікуваних голів, яку ви в неї вводите, а хитка lambda створює впевнені на вигляд ймовірності, які просто помилкові. Ставтеся до результату як до дисциплінованої оцінки для порівняння з ринком, а не як до впевненості в тому, що станеться.

Коли модель Пуассона має сенс

Пуассон виправдовує себе як спосіб побудувати незалежний погляд на матч, заснований на першопринципах, перш ніж дивитися на те, що пропонує букмекер. Він найбільш корисний у видах спорту з низькою результативністю, де голи є підраховуваними, дискретними подіями — футбол і хокей є класичними прикладами — і де у вас є розумна основа для оцінки очікуваних голів кожної команди на основі останньої форми або факторів, специфічних для матчу. Використовуваний таким чином, він дає вам орієнтир справедливої ціни для порівняння з грошовою лінією букмекера, а розрив між ними є відправною точкою для пошуку цінності, а не фінішною лінією. Він має менше сенсу як самостійний сигнал, коли ваші вхідні дані про очікувані голи самі по собі є здогадками, оскільки модель не може відрізнити хороші вхідні дані від поганих — вона обчислює впевнений на вигляд результат у будь-якому випадку. Він також найслабший там, де спорт відхиляється від своїх припущень: матчі, схильні до впливу стану гри, червоних карток або захисних змін, коли команда веде в рахунку, потребують коригування, а не сліпої довіри. Дисципліна банкролу має таке ж значення — перевага моделі, отримана з одного набору вхідних даних про очікувані голи, все ще є оцінкою, а не гарантією, і розмір ставки, ніби це впевненість, — це шлях до того, як реальна перевага перетворюється на збиток на довгій дистанції. Найсильніше використання Пуассона — як один із елементів ширшого процесу: побудуйте модель, порівняйте її з ринком і визначте розмір будь-якої ставки відповідно до того, наскільки ви впевнені в цифрах очікуваних голів, з яких ви почали.

Поширені помилки

Не довіряйте результату, коли вхідні дані про очікувані голи — це насправді лише приблизна здогадка — модель не може відрізнити надійну оцінку від поганої. Не забувайте, що базовий Пуассон занижує кількість нічиїх і результати з низьким рахунком, оскільки він розглядає обидві команди як такі, що забивають незалежно. Не припускайте, що постійний темп забивання зберігається протягом усього матчу, попри такі фактори, як червоні картки або команда, що захищає перевагу наприкінці гри. І не ставтеся до ймовірностей моделі як до впевненості — це оцінки для порівняння з ринком, а не прогнози для сліпих ставок.

Модель Пуассона проти лінії букмекера

Модель Пуассона та власна лінія букмекерської контори відповідають на різні запитання: одна оцінює, що має статися на основі очікуваних голів, інша відображає, де знаходяться гроші ринку. Порівняння цих двох речей і є метою використання калькулятора Пуассона.